Bloq

Statistika riyaziyyatın bir qoludur və əldə edilən məlumatları elmi və praktiki məqsədlər üçün işləyib hazırlamaqla məşğul olur. Niyə görə statistikanı öyrənməliyik? Birincisi, statistika bizə dünya haqqında fikir formalaşdırılmasında kömək edir. İkincisi isə,  statistika bizə ən uyğun biznes qərarlarının verilməsində kömək edir.

Biznes dünyasında statistika aşağıda qeyd edilmiş mühim fəaliyyətlərdə istifadə edilir:

• Biznes məlumatlarının (rəqəmləri) ümumiləşdirilməsi
• Bu məlumatlar əsasında nəticə çıxartmaq
• Biznes fəaliyyətləri üzrə real proqnoz vermək
• Biznes proseslərini inkişaf etdirmək

Statistika iki hissədən ibarətdir: təsviri statistika və təhili statistika.

Statistikada istifadə edilən ən vacib 7 termin və onların izahı:

Dəyişən: əşyaların və şəxslərin xüsusiyyətini göstərir. Misal: sinifdə sağirdlərin yaşı, adı, cinsi, boy ölçüsü, çəkisi dəyişənlərdir.

Verilən: dəyişənlərin aldığı müxtəlif qiymətlərdir. Misal: bir öncəki misalda şagirdlərin çəkisi dəyişənini götürək. Fərz edək ki, sağirdlərin çəkisi belədir: 36; 34.5; 40; 41.5; 35; 39. Bu rəqəmlər verilənlər adlanır. Gördüyümüz kimi, bir dəyişən birdən çox qimət alır.

İstifadə mənası: əgər dəyişənin istifadə mənası yoxdursa dəyişənlərin aldığı bütün qiymətlər mənasızdır. Misal: sagirdlərin çəkisi deyiləndə əgər bir təhlilçi bunu məktəbin bütün sağirdlərinin çəkisi olaraq, digər bir təhlilçi isə yalnız məktəbdə olan 7-ci sinif şagirdlərinin çəkisi olaraq düşünürsə deməli dəyişənin istifadə mənası düz deyildir. Dəyişənin adı elə olmalıdırki, hər bir təhlilçi tərəfindən aydın başa düşülən olsun. Bu misalda dəyişənə bütün şagirdlərinin çəkisi olaraq versək daha anlaşılan olar.

Ümumi Toplu: nəticə əldə etmək istədiyimiz bütün çevrəni əhatə edir. Ümumi Toplu böyük bir qrupdur. Misal: Azərbaycanda sagirdlərin İQ səviyyəsi. Burada Azərbaycanda oxuyan bütün sağirdlər (şəhər, rayon, qəsəbə, kənd) bizim ümumi topludur.

Seçmə: təhlil üçün ümumi topludan seçilmiş bir hissədir. Yuxarıdakı misalda yalnız Bakıda oxuyan sagirdlərin İQ səviyyəsini hesablasaq, seçdiyimiz sağirdlər bizim seçmə olacaqdır.

Parametrlər: ümumi toplunun təhlili nəticəsində əldə edilən göstəricilərdir.

Statistiklər: seçmənin təhlili nəticəsində əldə edilən göstəricilərdir.

İxtiyari dəyişənin qiymətinin əgər əvvəlcədən alacağı qiymət  dəqiq bilinmirsə, onda həmin dəyişən təsadüfi dəyişən adlanır. Dəyişənlərin növlərində daha əvvəl də qeyd etmişdik ki, təsadüfi dəyişən diskret və kəsilməz olur. Xatırlatmaq üçün bunların izahına bir daha baxaq:

Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər çoxluğu (dəsti) vardır. Məsələn, lotereya biletinin nömrəsi diskretdir. Diskret təsadüfi dəyişən hər hansı sonlu dəstdən qiymət alır.

Kəsilməz təsadüfi dəyişənə nümunə olaraq havanın temperaturunu göstərə bilərik.  Belə ki, havanın temperaturu müəyyən intervalda kəsilməz qiymət ala bilər. Kəsilməz  təsadüfi kəmiyyət sonsuz  sayda qiymətlər ala bilər.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsi (Ortalama):

Misal: Fərz eədk ki, iki qəpik atılır. Gəlin X = gerb üzlərin düşmə sayı deyək.

E(X) = ((0)(0.25) + (1)(0.50) + (2)(0.25)) = 1.0  X-ın riyazi gözləməsi

Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası:

Diskret təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması:

Misal: yuxarıda qeyd etdiyimiz qəpik misalında gəlin standart kənarlaşmanı hesablayaq (riyazi gözləmə E(X)=1 tapmışdıq).

Diskret təsadüfi dəyişənin kovariasiyası:

İnvestisiya üzrə gəlirlər:

Misal: Fərz edək ki, 1000 manatlıq investisiya üçün iki alternativ seçim var. İnvestisiyalardan gözlənilən gəlirlər aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir.

Riyazi gözləmə (Ortalama):

X fondu üzrə ortalama gəlir 50 manat, Y fondu üzrə isə 95 manatdır.

Dispersiya:

Y fondu üzrə ortalama gəlirliliyin yüksək olmasına baxmayaraq, bu fondun volatilliyi daha yüksəkdir. Yəni, bu fond üzrə itki ehtimalı daha çoxdur.

Kovariasiyası:

Kovariasiya göstəricisi müsbət və böyük rəqəmdir. Bu da o deməkdir ki, iki fond aradındakı əlaqə düz mütənasibdir. Yəni, hər iki fondun qiyməti birlikdə qalxır və birlikdə enir.

İki təsadüfü dəyişənin toplanması:

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsi (Ortalama):

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin dispersiyası:

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması:

Portfel üzrə gözlənilən gəlir və risk: adətən investisiya portfeli bir neçə fondun toplamından əmələ gəlir. İnvestisiyada əsas məqsəd gəliri (ortalama) maksimuma qaldırmaq, riski (standart kənarlaşma) isə minimum endirməkdir.

Portfel üzrə gəlir (Ortalama):

Portfel üzrə risk:

Misal:

Fərz edək ki, portfelin 40%-ni X, 60%-ni isə Y üzrə investisiya təşil edir. Bu məlumatlara əsaslanaraq, portfel üzrə gəliri və riski hesablayaq.

Böyük həcmli verilənlər bazası üzərində operativ şəkildə işləyərək nəticə əldə etmək istəyiriksə, bu mərhələləri izləməliyik:

1. Müəyyənləşdirmək – ilk olaraq təhlil üçün lazım olan dəyişənlar müəyyən edilməlidir.
2. Toplamaq – təhlil üçün lazım olan verilənlər uyğun bazalardan toplanmalıdır.
3. Cədvəl və qrafiklərin hazırlanması – bu pillədə toplanmış verilənlərin daha asan təhlil edilməsi üçün cədvəllər və qrafiklər hazırlanır.
4. Təhlil etmək – hazırlanmış cədvəllər və qrafiklərdən istifadə edərək nəticə əldə edilir.

İngiliscədə bu DCOVA kimi tanınır (Define, Collect, Organize, Visualize, and Analyze).

1. Verilənlərin toplanması.

Verilənlər iki mənbəədən toplanılır: əsas mənbəə, ikinci dərəcəli mənbəə

Əsas mənbəə: verilənləri yığan şəxs bu verilənləri ilk dəfə istifadə edən şəxsdir. Yəni, təhlilçi lazım olan verilənləri müxtəlif anket sorğuları əsasında, təcrübəsinə dayanaraq və ya müşahidə nəticəsində əldə edir.

İkinci dərəcəli mənbəə: təhlilçi, təhlilində istifadə etdiyi verilənləri toplayan şəxslə eyni insan deyildir. Yəni, burada təhlilçi başqa insanlar tərəfindən toplanmış hazır verilənlər bazasından istifadə edir. Misal: jurnal və ya internetdə dərc olunmuş məlumatlar

1. Cədvəl və qrafiklərin hazırlanması

Cədvəllər: Bu mərhələdə keyfiyyət və kəmiyyət üzrə dəyişənlər üçün müxtəlif formalarda cədvəllər hazırlanır. Gəlin bunlara daha ətraflı baxaq.

Sadə Forma: bu formada kateqoriyalar arasındakı fərqi görə bilmək üçün, hər bir kateqoriyanın qarşısında tezlik, mebleğ ve ya faiz göstərilir. Deyəcəyimiz misalda bunu daha aydın görə bilərik. 1000 nəfər Bank müştərisi arasında kredit ödənişlərini hansı vasitə ilə həyata keçiridikləri barədə sorğu keçirilmişdir. Sorğunun nəticələrini aydın şəkildə görə bilmək üçün aşağıdakı sadə forma tərtib edilmişdir.

Çarpaz Forma: bu formada iki və daha artıq dəyişən üzrə kateqoriyalar arasındakı fərqi görə bilərik. Bunu daha rahat başa düşmək üçün gəlin misal üzərindən baxaq. Təsadüfi seçmə nəticəsində 400 faktura (invoice) seçilmişdir. Bu fakturalar üç kateqoriya (kiçik, orta və böyük məbləğli) üzrə qruplaşdırılmışdır. Hər bir kateqoriyaya daxil olan fakturaların neçəsinin səhv, nəcəsinin isə düz olduğu müəyyənləşdirilmişdir. Qeyd edilənləri aydın şəkildə görə bilmək üçün çarpaz forma tərtib edilmişdir.

Sıralama: bu tip cədvəl formasını hazırladığımız zaman, verilənlər kiçikdən böyüyə doğru sıralanır. Bu metod bizə əldə edəcəyimiz nəticələrə mənfi təsir edəcək lazımsız verilənləri (outliers) müəyyən etməyimizə kömək edir.

Tezlik üzrə qruplaşdırma: burada verilənlər üzrə intervalların sayı və genişliyi müəyyənləşdirilməlidir. İntervalların hüdudlarının üst-üstə düşməməsinə diqqət yetirmək lazımdır. İntervalların sayı verilənlərin həcmindən asılıdır. Ümumi olaraq, intervalların sayı ən azı 5 olur, lakin, heç vaxt 15 intervaldan çox say verilmir.

İntervalın genişliyi (maksimum verilən – minimum verilən) / intervalın sayı düstürü ilə tapılır.

Misal: boya istehsal edən şirkət təsadüfi seçmə üsulu ilə 20 qış günü seçmisdir və hər günün maksimum temperaturunu qeyd etmişdir.  24, 35, 17, 21, 24, 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27

• İlk olaraq verilənlər artan sıra ilə sıralanmalıdır: 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
• Verilənlər arası maksimum məsafə tapılmalıdır: 58 – 12 = 46
• İntervalın sayı müəyyən edilir: 5 (adətən 5 və 15 arası olur)
• İntervalın genişliyi hesablanır: 10 (46/5 yuvarlaqlaşdırılır)
• Hər intervalın hüdudları müəyyənləşdirilir:

– İnterval 1: 10 – 20 arası

– İnterval 2: 20 – 30 arası

– İnterval 3: 30 – 40 arası

– İnterval 4: 40 – 50 arası

– İnterval 5: 50 – 60 arası

• Hər intervalın orta nöqtəsi tapılır: 15, 25, 35, 45, 55
• Hər intervala düşən verilənlərin sayı tapılır

Qrafiklər: Keyfiyyət və kəmiyyət üzrə dəyişənlər üçün müxtəlif formalarda qrafiklər hazırlanır. Gəlin bu qrafiklərlə daha yaxından tanış olaq.

Gəlin sadə forma üzrə verdiyimiz misal (1000 nəfər Bank müştərisi arasında kredit ödənişlərini hansı vasitə ilə həyata keçiridikləri barədə keçirilmiş anket sorğunun nəticələri) üzərindən Bar, Pareto və Dairəvi qrafiklər quraq.

Çarpaz forma üzrə verdiyimiz misal (təsadüfi seçmə nəticəsində 400 faktura (invoice) seçilmişdir. Bu fakturalar üç kateqoriya (kiçik, orta və böyük məbləğli) üzrə qruplaşdırılmışdır. Hər bir kateqoriyaya daxil olan fakturaların neçəsinin səhv, nəcəsinin isə düz olduğu müəyyənləşdirilmişdir) üzərindən Çoxsaylı Bar qrafiki quraq.

Ən çox səhv orta məbləğli fakturalarda olmuşdur (61.54%).

Budaq və yarpaq: verilənlərin harada konsentrasiya olduğunu aydın şəkildə görmək olar. Onluqlar budaqda, təkliklər isə yarpaqda qeyd edilir. Nəticədə, hər onluğa düşən təklik həcmini və bununla da hansı onluğun daha böyük olduğunu görmək olur. Sıralamada veridiyimiz misalı (tələbələrin yaşı misalı) bu metodla göstərək.

Histoqram: tezlik üzrə qrupların şaquli barlar ilə göstərilməsi histoqramdır. Histoqramda barlar arasında məsafə qoyulmur. İntervalların hüdudları (və ya intervalın orta qiyməti) üfüqi, tezlik isə şaquli oxda göstərilir. Barların hündürlüyü tezliyin həcmini ifadə edir. Daha əvvəl qeyd etdiyimiz misal (hər günün maksimum temperaturu) üzrə histoqram quraq.

Poliqon: intervalın orta nöqtəsi ilə o intervala daxil olan tezliyi birləşdirən nöqtələrdən ibarət trenddir. Buna əvvəlki misal üzərindən baxaq.

Kumulyativ Trend: bir növ poliqona bənzəyir, fərqi ondan ibarətdir ki, tezlikdə hər zaman kumulyativ rəqəm olur (özündən əvvəlki intervallara daxil olan tezlikləri cəmləyir) və üfüqi oxda intervalın kiçik hüdudu qeyd edilir. Kumulyativ trend intervalın kiçik hüdudu ilə bu hüduddan aşağıda qalan bütün tezliklərin cəmini birləşdirən nöqtələr çoxluğudur. Yuxarıdakı misala baxaq.

Skatter qrafik: kəmiyyət üzrə iki dəyişəndə baş verən dəyişiklikləri bir yerdə izləmək üçün istifadə edilən ən optimal qrafik növüdür. Misal üzərindən bunu daha aydın analayacaqsınız.

Orta göstərici alətləri: verilənlərin orta göstərici ətrafında nə cür qruplaşdığını ölçür. Gəlin bu alətləri tək-tək izah edək.

•  Aritmatik ortalama – orta göstərici alətlərindən ən çox istifadə olunandır. Verilənlərin cəmini onların sayına bölməklə əldə edilir.

Seçmə sayı n olarsa:

Aritmatik ortalamada hər zaman lazımsız verilənlərin (outliers) təsiri özünü göstərir.

Ümumi toplu üzrə aritmatik ortalam μ ilə işarə edilir, ümumi toplunun cəmini onların sayına bölməklə əldə edilir.

• Median – kiçikdən böyüyə doğru düzülmüş sırada ortada duran rəqəmdir (rəqəmlərin 50%-i mediandan sağda, 50%-i isə solda olur). Heç vaxt mediana lazımsız verilənlər (outliers) təsir etmir.

Medianın tutduğu mövqe yalnız medianın sırada neçənci rəqəm oldunu göstərir. Bu medianın yalnız sıra nömrəsidir, onun aldığı qiymət deyil, bunu qarışdırmayın. Yuxarıdakı misalların hər ikisində 5 rəqəm var, medianın sıra nömrəsi (5+1)/2=3-dür. Yəni, 3-cü sırada duran rəqəm (13) bizim mediandır.

Əgər sıralanmış (kiçikdən – böyüyə) rəqəmlərin sayı təkdirsə median ortada duran rəqəmdir. Yox əgər sıralanmış (kiçikdən – böyüyə) rəqəmlərin sayı cütdürsə median ortada duran iki rəqəmin ortalamasına bərabərdir.

• Mod: verilənlər çoxluğunda ən çox təkrarlanan veriləndir. Mod həm kəmiyyət həm də keyfiyyət verilənləri üzrə olur. Heç vaxt moda lazımsız verilənlər (outliers) təsir etmir. Verilənlər çoxluğunda heç mod olmaya bilər və əksinə, bir dəstədə birdən çox mod ola bilər.
• Geometrik ortalama: zaman ərzində dəyişəndə baş vərən dəyişmə (artma, azalma və ya sabit) faizini göstərir.

Geometrik ortalama investisiyaların gəlirlilik dərəcəsinin (rate of return) hesablamasında istifadə edilən vasitələrdən biridir.

R – gəlirlilik dərəcəsidir (rate of return).

Misal: ilin əvvəlində 100 000 man investisiya edilmişdir, ilin sonunda investisiyanın dəyəri düşərək 50 000 man olmuşdur. Lakin, növbəti ilin yekununa yenidən investisiyanın qiyməti dəyərlənərək 100 000 man olmuşdur.

Baxdığımızda, əslində iki il ərzində inevestisiya bizə heç gəlir gətirməmişdir. Lakin, aritmatik ortalama ilə hesablasaq investisiyanın gəlirli olduğunu göstərəcəkdir ki, bu da səhv məlumatdır. Ona görə hər zaman, gəlirlilik dərəcəsini hesabladıqda geometrik ortalamadan istifadə etməliyik.

Bütün danışdıqlarımızı aşağıdakı cədvəllə ümümiləşdirək.

Orta qiymətdən kənarlaşma aşağıdakı metodlar vasitəsilə ölçülür:

• Verilənlər arası maksimum məsafə: verilənlər çoxluğunda ən böyük rəqəmlə ən kiçik rəqəm arasındakı fərqdir.

Verilənlər arası maksimum məsafə = Xböyük – Xkiçik

Hər zaman lazımsız verilənlərin (outliers) təsiri özünü göstərir.

• Dispersiya və standart kənarlaşma: dəyişənin onun orta qiymətindən dağılma (kənarlaşma, səpələnmə) ölçüsüdür. Dispersiyanın kvadrat kökü dəyişənin standart yayınmasına bərabərdir.

Seçmənin standart kənarlaşması aşağıda qeyd edilmiş 5 addımı izləməklə hesablanır.

1. Hər verilənlə seçmənin aritmatik otrası arasındakı fərqlər hesablanır
2. Alınmış fərqlər kvadrata yüksəldilir
3. Kvadrata yüksəldilmiş fərqlər toplanılır
4. Alınmış cəm “n-1”- ə bölünərək seçmə dispersiyası tapılır. Buradakı “n” seçmə sayıdır.
5. Dispersiyanın kvadrat kökü alınaraq standart yayınma tapılır.

Misal: Seçmə verilənləri – 10; 12; 14; 15; 17; 18; 18; 24

Aşağıda qeyd edilmiş 3 verilən çoxluğu üzrə standart kənarlaşmaları hesablamağa cəhd edin (cavablar yaşıl xanada göstərilmişdir).

• Kənarlaşma əmsalı: eyni yayınmaya sahib olan çoxluqlar arasında müqayisə aparmaqda istifadə edilən ən effektiv vasitədir. Misal, deyək ki, iki investisiya imkanı var. Hansı az risklidirsə (standart yayınması az olan) ona pul qoyacaqsız. Lakin, hər ikisinin standart kənarlaşması eynidir deyək, o təqdirdə hansı variantı seçəcəyinizi bilmirsiniz. Əslində standart yayınmaların bir-birinə bərabər olması o demək deyil ki, hər iki variant eyni risklidir. Bəs hansı az risklidir? Məhz bu tip suallara cavab tapmaq üçün istifadə edilən alət kənarlaşma əmsalıdır. Gəlin buna misallar üzərindən baxaq:

Hər iki səhmin standart kənarlaşmasının eyni olmasına baxmayaraq, B səhminin qiymətdən kənarlaşması daha azdır.  B səhminin kənarlaşma əmsalı aşağı olduğuna görə onun seçilməsi daha yararlıdır.

Kənarlaşma əmsalı təkcə eyni yayınmaya sahib olan çoxluqlar arasında müqayisə aparmaq üçün istifadə edilmir. Elə iki səhm ola bilər ki, digəri ilə müqayisədə standart yayınmasının az olmasına baxmayaraq, bu səhm digərinə nisbətən daha riskli ola bilər. Buna misal üzərindən baxaq:

C səhminin standart yayınmasının az olmasına baxmaraq, kənarlaşma əmsalı böyükdür.

Verilənin ortalamaya nəzərən hansı istiqamətdə yerləşdiklərini ölçmək üçün Z skordan istifadə edilir. Z skorun -3 və +3 arasında qiymət alması verilənlərin normal paylanması mənasına gəlir. Aşağıdakı düstur ilə hesablanır:

Misal: fərz edək ki, riyaziyyat dərsi üzrə ortalama imtahan balı 490, standart yayınması isə 100-dür. Nəticəsi 620 olan testin Z skorunu hesablayın.

Nəticəsi 620 olan testin ortalamadan yayınması  1.3-dür.  Bu göstərici də -3 və +3 arasında olduğu üçün, 620 normal verilən gəbul edilir.

Verilənlər iki formada paylanır: Skewness, Kurtosis

Skewness: verilənlərin paylanmasının simmetrik və ya qeyri-simmetrik olmasını göstərir.

Kurtosis: verilənlərin paylanmasının mərkəzə nəzərən hansı formada yerləşdiyini göstərir.

Verilənlərin kvartallar üzrə bölğüsü: kvartallar sıralanmış verilənləri (kiçikdən böyüyə) hər birində eyni sayıda verilən olmaq şərtilə 4  təbəyə ayırır.

Birinci kvartaldan (K1) solda verilənlərin 25%-i, sağda isə 75%-i yerləşir. İkinci kvartala median deyə bilərik, çünki verilənlərin 50%-i K2-dən solda, 50%-i də sağda yerləşir. Yalnız 25% verilən K3-dən böyükdür. Sıralanmış verilənlər (kiçikdən böyüyə) çoxluğunda kvartalların mövqeyi aşağıdakı düsturların köməyi ilə təyin edilir.

K1(mövqe) = (n+1)/4;     K2(mövqe)  = (n+1)/2;     K3(mövqe)  = 3(n+1)/4;    

n – verilənlərin sayı

Əgər kvartalın mövqeyi tam rəqəm verməzsə (misal: 2.5) o təqdirdə kvartal uyğun iki verilənin ortalaması olaraq seçilir. Gəlin misal üzərindən baxaq:

Misal: sıralanmış verilənlər çoxluğu: 11;   12;   13;   16;   16;   17;   18;   21;   22;   n=9

K1 (mövqe) = (9+1)/4 = 2.5; ikinci və üçüncü mövqedə duran verilənlərin ortalaması bizim birinci kvartaldır ;  K1 = (12 + 13)/2 = 12.5

K2 (mövqe) = (9+1)/2 = 5; 5-ci sırada duran rəqəm bizim ikinci kvartaldır, eyni zamanda həm də mediandır (tənbölən). K2 = median = 16

K3 (mövqe) = 3(9+1)/4 = 7.5;  K3 = (18+21)/2 = 19.5

K3 – K1 ortada olan 50% verilənin yayınmasını ölçür. Heç vaxt lazımsız verilənlər (outliers) təsir etmir. Misal üzərindən bunu daha aydın görmək olar:

Verilənlərin kvartallar üzrə xanalar şəklində göstərilməsi “boxplot” adlanır. Verilənlərin paylanmasının simmetrik və ya qeyri-simmetrik olmasına “boxplot” üzərindən nəzər yetirək.

Misal: verilənlərin paylanmasına nəzər yetirsək görürük ki, verilənlərin paylanma forması sağa doğru əyridir.

 

Empirik qanunauyğunluqlar təcrübə, müşahidə və sınaqlar əsasında özünü doğrultmuşdur. Empirik qanunauyğunluqlar zəng formada paylanmış verilənlərin yayınmasını təxmin edir. Empirik qanunauyğunluğa görə zəng formada paylanmış verilənlərin:

• 68% verilən orta qiymətindən 1 standart kənarlaşma ilə yayınır.
• 95% verilən orta qiymətindən 2 standart kənarlaşma ilə yayınır.
• 99.7% verilən orta qiymətindən 3 standart kənarlaşma ilə yayınır.

Misal: riyaziyyat fəndi üzrə keçirilmiş imtahan nəticələrinin ortalaması 500, standart kənarlaşması isə 90-a bərabərdir. Yuxarıdakı qanunauyğunluğa görə deyə bilərik ki tələbələrin:

• 68%-nin imtahan nəticəsi 410 və 590 arasındadır (500 ± 90).
• 95%-nin imtahan nəticəsi 320 və 680 arasındadır (500 ± 180).
• 99.7%-nin imtahan nəticəsi 230 və 770 arasındadır (500 ± 270).

Çebışev qanunauyğunluğu: (1 – 1/k2) x 100% qədər verilənin ortalamadan k standart kənarlaşma ilə yayındığını göstərir (k > 1 hər zaman). Misal:

Kovariasiya: iki kəmiyyət dəyişəni (X & Y) arasındakı xətti əlaqənin gücünü ölçür.

Qeyd edək ki, kovariasiya səbəb-nəticə əlaqəsini yox, yalnız dəyişənlər arası əlaqənin gücünü ölçür. İki dəyişən arasındakı kovariasiya:

• kov(X,Y) > 0 — X və Y eyni istiqamətdə hərəkət edir.
• kov(X,Y) < 0 — X və Y əks istiqamətdə hərəkət edir.
• kov(X,Y) = 0 — X vəY mütəqildirlər.

Dəyişənlər arasında xətti əlaqənin mövcudluğu səviyyəsini Kovariasiya vasitəsilə müəyyən etmək mümkün deyil. Bunun üçün Korrelyasiya əmsalından istifadə edilir. . İki x və y dəyişənləri arasındakı seçmə korrelyasiya əmsalı r (ümumi toplu üzrə ρ, seçmə üzrə isə r) ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır:

Korrelyasiya əmsalının əsas xüsusiyyətləri:

• aldığı qiymətlər çoxluğu -1 və +1 intervalına daxildir.
• -1-ə yaxın olması güclü mənfi xətti əlaqənin olduğunu bildirir.
• +1-ə yaxın olması güclü müsbət xətti əlaqənin olduğunu bildirir.
• 0-a yaxın olması xətti əlaqənin çox zəif olduğunu bildirir.

Ehtimal – qeyri-müəyyən hadisənin baş verməsi halıdır (hər zaman 0 və 1 arasında qiymət alır). Misal, iki zəri atdıqda düşən xalların cəmi bizə lazım olan dəyişən olsun və x  ilə işarə edək. Bu təsadüfi x dəyişəni 2-dən 12-yə qədər qiymətlər ala bilər.  36 mümkün variant vardır və hər bir  variantın baş vermə ehtimalı 1/36 –ə bərabərdir. Əlverişli variantların bütün mümkün variantlara nisbəti ehtimal adlanır. Təsadüfi dəyişənin ehtimalını  p ilə işarə edilir.

Qeyri-mümkün hadisə  – hadisənin baş vermə ehtimalı sıfıra bərabərdir (ehtimal = 0)

Müəyyən Hadisə – hadisənin baş verməsinə 100% əminik (ehtimal = 1).

Qeyri-müəyyən hadisənin ehtimalı 3 metodla qiymətləndirilir:

1. Priori ehtimal – daha əvvəlki məlumatlara əsaslanır

Misal: 2014-cü ildən təsadüfən seçilmiş bir günün yanvar ayına aid olması ehtimalı nədir?

1. Empirik ehtimal – müşahidə nəticəsində əldə edilmiş verilənlərə əsaslanır.

Misal: aşağıdakı cədvəldə ümumi toplu üzrə məlumat verilmişdir. Bu məlumatlara əsasən statistik məlumatların hesablanmasında nəzərə alınan kişilərin ehtimalı nədir?

1. Subyektiv ehtimal – fərdin keçmiş təcrübəsinə, şəxsi fikirlərinə, təhlillərinə əsaslanır.

Hadisə – dəyişənin hər bir mümkün nəticəsidir.

• Sadə hadisə: bir xüsusiyyətə malik olur. Misal, 2014-cü ildən təsadüfən seçilmiş bir günün yanvar ayına aid olması ehtimalı.
• Birgə hadisələr: iki və daha artıq xüsusiyyətə malik olur. Misal, 2014-cü ildən təsadüfən seçilmiş bir günün yanvar ayının çərşənbə gününə təsadüf etməsi ehtimalı.
• A hadisəsinin tamamlayıcısı (A’ kimi işarə edilir): A hadisəsini əhatə etməyən digər hadisələrin toplamıdır. Misal, 2014-cü ildən təsadüfən seçilmiş bir günün yanvar ayından başqa aylara təsadüf etmə ehtimalı.

Mümkün hallar çoxluğu – baş verəbiləcək bütün mümkün halların toplamıdır. Misal, zərin 6 üzü, kart dəstəsindəki 52 kart. Burada 6 və 52 Mümkün hallar çoxluğudur.

Sadə (və ya marjınal) ehtimal – sadə hadisələr üzrə hesablanan ehtimaldır. Misal, seçilmiş günün yanvar ayına aid olması ehtimalı P(Yan.)? seçilmiş günün çərşənbə gününə tasadüf etmə ehtimalı P(Çər.)?

Birgə ehtimal – iki və daha çox hadisənin birgə baş verməsi ehtimalıdır (birgə hadisələr üzrə ehtimal). Misal, seçilmiş günün yanvar ayının çərşənbə gününə təsadüf etməsi ehtimalı P(Yan. və Çər.)? Bu hadisənin tamamlayıcısı üzrə ehtimal P(Digər ay və Digər gün)? Aşağıdakı düsturla hesablanır.

Müstəsna hadisələr – hadisələrin eyni zamanda baş verməsi qeyri-mümkündür. Gəlin misal üzərindən baxaq: 2014-cü ildən təsadüfən bir gün seçilmişdir.

Buradakı A və B hadisələri müstəsna hadisələrdi. Çünki il üzrə seçilmiş bir günün həm yanvar ayına həm də fevral ayına təsadüf etməsi qeyri-mümkündür.

Toplu hadisələr – hadisələrdən biri mütləq şəkildə baş verməlidir. Hadisələrin toplamı “mümkün hallar çoxluğu”nu əhatə edir. 2014-cü ildən təsadüfən bir gün seçilmişdir.

A, B, C və D toplu hadisələrdir (lakin, müstəsna hadisələr deyil –  həftə sonu yanvarda və ya yazda ola bilər). A və B hadisələri isə həm toplu həm də müstəsna hadisələrdir (seçilmiş bir gün ya həftə içinə ya da həftə sonu təsadüf edəcək, eyni anda hər ikisinə təsadüf etməsi qeyri-mümükündür). Həm toplu həm də müstəsna olan hadisələrin ehtimalları cəmi 1-ə bərabərdir.

Əlavə qaydalar:

 

Əgər A və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsi mümkün deyilsə, onda P(A və B) = 0.

Misal:

 

 

Şərti ehtimal – bir hadisənin baş verməsi halında digər bir hadisənin baş verməsi ehtimalıdır.

 

Misal: işlənmiş maşınlar satılan “A” salonunda maşınların 90%-də kondisioner (AC), 40%-də GPS Naviqasiya sistemi var. 35% maşında isə həm kondisioner həm də GPS var. Kondisioner olan maşınlarda GPS olma ehtimalı nədir? Bizim tapmaq istədiyimiz ehtimal budur P(GPS | AC)

A və B hadisələri o zaman müstəqil hesab olur ki, birinin olma ehtimalı digərinin baş verməsi halından asılı olmasın. Bu təqdirdə, müstəqil hadisələrin ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

A və B hadisələrinin hasili:

 

Əgər A və B hadisələri müstəqildirsə, onda P(A|B) = P(A) olduğundan, A və B hadisələrinin hasili aşağıdakı düsturla hesablanacaqdır:

A hadisəsinin marjinal ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

 

Burada B1, B2, …, Bk həm toplu həm də müstəsna hadisələrdir.
 

 

Bayes teoremi 18-ci ərsdə Tomas Bayes tərəfindən ortaya qoyulmuşdur. Bu teorem şəti və marjinal ehtimallar arasındakı əlaqəni göstərir. Şərti ehtimalın mürəkkəb formasıdır.

Misal: Qazma şirkəti qazıdıqları quyuların 40%-dən neft çıxacağını ehtimal edirlər. Quyuların qazmadan əvvəl analiz edilməsi statistikasına görə, neft çıxmış quyuların 60%-i, neft çıxmamış quyuların isə 20%-i ətraflı analiz edilmişdir. Bütün bu məlumatlara əsaslanaraq, deyək ki, quyu ətraflı test edilmişdir və bu quyudan neft çıxması ehtimalı nədir???

S = neft çıxması; U = neft çıxmaması qeyd eləsək onda:

P(S) = 0.4 ,            P(U) = 0.6 (Priori ehtimallar)

Quyuların ətraflı test edilməsini də D ilə işarə eləsək onda şərti ehtimallar belə olacaqdır:

P(D|S) = 0.6 ,        P(D|U) = 0.2

Bizim isə tapmaq istədiyimiz ehtimal: P(S|D)=???? (yəni, quyu analiz olduğu təqdirdə neft çıxma ehtimalı nədir)

Bayes teoreminə görə:  analiz olunmuş quyudan neft çıxma ehtimalı 66.7%-dir.

Qayda 1: hər hansı bir k hadisəsinin n dəfə sınaqdan keçirilməsi zamanı mümkün halların sayı aşağıdakı düsturla hesablanır:

Misal: zərin 3 dəfə atılması halında neçə mümükün hal vardır? Zərin 6 üzü olduğundan 6^3 = 216 mümkün hal vardır.

Qayda 2: əgər birinci sınaqda k1 hadisəsi, ikinci sınaqda k2 hadisəsi və üçüncü sınaqda kn hadisəsi varsa, mümkün halların sayı belə hesablanır:

Misal: siz həftə sonu alışveriş mağazasına getmək istəyirsiz, restoranda yemek yəmək istəyirsiz və kinoya baxmaq istəyirsiz. Deyək ki, seçimləriviz arasında 3 alışveriş mağazası, 4 restoran və 6 kino var. Bunları nəzərə alaraq, həftə sonu neçə cür mümkün hal kombinasiyası var?

(3)*(4)*(6) = 72 mümkün hal vardır

Qayda 3: n ədədin sıralanmasında mümkün halların sayı belədir:

Misal: tutaq ki, kitab rəfinə qoymaq üçün sizin 5 ədəd kitabnız var. Bu kitablar rəfə nəçə cür qoyula bilər?

5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mümkün hal vardır.

Qayda 4 (Permutasiya): n ədəddən X-nın sıralanmasında mümkün halların sayı belə tapılır:

 

Misal: tutaq ki, siz 5 kitabınızdan 3-nün rəfdə yerini dəyişmək istəyirsiz. Bu kitablar rəfdə nəçə cür düzülə bilər?

60 mümkün hal vardır.

Qayda 5 (Kombinasiya): n ədədin içindən X ədədin seçilməsində mümkün halların sayı bu cür hesablanır:

Misal: tutaq ki, kitab rəfində sizin 5 kitabınız var. Bu kitablardan oxumaq üçün 3-nü təsadüfən seçmək istəyirsiniz. Kitabların seçilməsində neçə cür mümkün hal kombinasiyası var?

10 mümkün hal var.

 

İxtiyari dəyişənin qiymətinin əgər əvvəlcədən alacağı qiymət  dəqiq bilinmirsə, onda həmin dəyişən təsadüfi dəyişən adlanır. Dəyişənlərin növlərində daha əvvəl də qeyd etmişdik ki, təsadüfi dəyişən diskret və kəsilməz olur. Xatırlatmaq üçün bunların izahına bir daha baxaq:

Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər çoxluğu (dəsti) vardır. Məsələn, lotereya biletinin nömrəsi diskretdir. Diskret təsadüfi dəyişən hər hansı sonlu dəstdən qiymət alır.

Kəsilməz təsadüfi dəyişənə nümunə olaraq havanın temperaturunu göstərə bilərik.  Belə ki, havanın temperaturu müəyyən intervalda kəsilməz qiymət ala bilər. Kəsilməz  təsadüfi kəmiyyət sonsuz  sayda qiymətlər ala bilər.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsi (Ortalama):

Misal: Fərz eədk ki, iki qəpik atılır. Gəlin X = gerb üzlərin düşmə sayı deyək.

E(X) = ((0)(0.25) + (1)(0.50) + (2)(0.25)) = 1.0  X-ın riyazi gözləməsi

Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası:

Diskret təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması:

Misal: yuxarıda qeyd etdiyimiz qəpik misalında gəlin standart kənarlaşmanı hesablayaq (riyazi gözləmə E(X)=1 tapmışdıq).

Diskret təsadüfi dəyişənin kovariasiyası:

İnvestisiya üzrə gəlirlər:

Misal: Fərz edək ki, 1000 manatlıq investisiya üçün iki alternativ seçim var. İnvestisiyalardan gözlənilən gəlirlər aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir.

Riyazi gözləmə (Ortalama):

X fondu üzrə ortalama gəlir 50 manat, Y fondu üzrə isə 95 manatdır.

Dispersiya:

Y fondu üzrə ortalama gəlirliliyin yüksək olmasına baxmayaraq, bu fondun volatilliyi daha yüksəkdir. Yəni, bu fond üzrə itki ehtimalı daha çoxdur.

Kovariasiyası:

Kovariasiya göstəricisi müsbət və böyük rəqəmdir. Bu da o deməkdir ki, iki fond aradındakı əlaqə düz mütənasibdir. Yəni, hər iki fondun qiyməti birlikdə qalxır və birlikdə enir.

İki təsadüfü dəyişənin toplanması:

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsi (Ortalama):

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin dispersiyası:

• Toplanmış iki təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşması:

Portfel üzrə gözlənilən gəlir və risk: adətən investisiya portfeli bir neçə fondun toplamından əmələ gəlir. İnvestisiyada əsas məqsəd gəliri (ortalama) maksimuma qaldırmaq, riski (standart kənarlaşma) isə minimum endirməkdir.

Portfel üzrə gəlir (Ortalama):

Portfel üzrə risk:

Misal:

Fərz edək ki, portfelin 40%-ni X, 60%-ni isə Y üzrə investisiya təşil edir. Bu məlumatlara əsaslanaraq, portfel üzrə gəliri və riski hesablayaq.

 

Bernulli: Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi “uğurlu” və ya “uğursuz” ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfi A hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər. Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar.

A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı p, baş verməməsi ehtimalı isə 1-p –dir.

Riyazi gözləmə (Ortalama):

Dispersiya:

Standart kənarlaşma:

Binomial: Binomial paylanma n sınaqdan x uğurlu nəticə eldə edilməsi ehtimalını tapmaq məqsədilə istifadə edilir. Binom Bernulli sınağının n dəfə təkrarlanmasıdır. Hər bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmir, yəni sınaqlar asılı deyil. Misal, qəpiyin 15 dəfə atılması. Heç bir atış digər atışların nəticəsinə təsir etmir. Hər atış bir Bernulli sınağıdır. Məhz buna görə, Bernullidə olan riyazi gözləməni (Ortalama), dispersiyanı və standart kənarlaşmanı sınaqların sayına (n) vurmaqla Binomial paylanma üzrə əldə etmək olar:

Riyazi gözləmə (Ortalama):

Dispersiya:

Standart kənarlaşma:

Burada: p – hadisəsinin baş verməsi ehtimalı, 1-p – hadisənin baş verməməsi ehtimalı, n – sınaqların sayı

Binomial paylanma aşağıdakı düstürla hesablanır:

Misal: Fərz edək ki, alınan məhsulun zay çıxma ehtimalı 0.02 –dir. Alınmış 10 məhsuldan 2-nin zay çıxması ehtimalı nədir?

x = 2, n = 10, və  p = 0.02

Misal: Karqo xidməti göstərən B şirkəti bağlamaların yalnız 2%-ni müəyyən edilmiş vaxtda ünvana çatdıra bilmir. Bir müştəri 10 dənə bağlamanı şirkətə gətirərək, müəyyən bir vaxtda yazılmış ünvanlara çatdırılmasını istəmişdir.

1. Bağlamalardan birinin vaxtında ünvana çatdırılmaması ehtimalı nədir?
2. Bağlamalardan maksimum birinin vaxtında ünvana çatdırılmaması ehtimalı nədir?

Bağlamaların ünvana vaxtında çatmasına “uğurlu”, çatmamasına isə “uğursuz” desək,

n = bağlamaların sayı = 10;     p = “uğurlu” = 0.98;     q = 1 – p = 0.02

1. Bir bağlamanın vaxtında çatmaması ehtimalı

x = 9 (vaxtında çatma),  n – x = 10 – 9 = 1 (vaxtında çatmama)

      2.  Maksimum bir bağlamanın vaxtında çatmaması ehtimalı

x = 0 ve x = 1

Puasson paylanma

: Fransız riyaziyyatçısı Simeon D.Poisson tərəfindən ortaya qoyulmuşdur. Müəyyən bir dövr üzrə ehtimal verildiyi halda, növbəti dövr üzrə ehtimalın tapılması məqsədilə istifadə edilir. Misal, bir ərazi üzrə bu ay ərzində nəçə dəfə maşın qəzası olduğu bilinir. Növbəti ay bu ərazi üzrə iki qəzanın baş verməsi ehtimalı Puasson paylanma ilə tapılır. Aşağıdakı düsturla hesablanır:

Riyazi gözləmə (Ortalama):

Dispersiya:

Standart kənarlaşma:

Misal: aparılan bir anket sorğusunun nəticəsinə görə 18-24 arası yaş qurupundakı istehlakçıların ayda ortalama 6.9 dəfə alışveriş etdikləri müəyyən edilmişdir. 18-24 yaş qrupundakı istehlakçıların ayda 5 dəfə alışverişə çıxmaları ehtimalı nədir?

Məsələdə ortalama alışveriş sayı (6.9) və ehtimalı soruşulan alışveriş sayı (5) verilmişdir. Bunlara əsaslanaraq, Puasson paylanmadan istifadə edərək ehtimalı hesablayaq:

Misal: X bankının Y filialında gündəlik əsasda ortalama iki yeni cari hesab açılır. Verilən bir gündə,

• 6 yeni hesab
• Maksimum 3 yeni hesab
• Ən azı 7 yeni hesabın açılma ehtimalı?

Geometrik paylanma: sonlu sayda topludan evəz etmə olmadan aparılan seçmə zamanı ehtimalın hesablanmasında istifadə edilir. Misal, bir torbadan yerinə qaytarılmaması şərtilə çəkilən şarların ehtimalının hesablaması. Burada torbada olan şarlar sonlu sayıda topludur. Əgər çəkilən şar torbaya qaytarılmırsa, növbəti şarın ehtimalı dəyişəcəkdir. Yəni, Geometrik paylanma sınaqlar bir-birindən asılıdır. Amma Binomial paylanmada, sonlu sayda olan topluda sınaq aparılırdığı zaman, sınaqların nəticəsi bir-birinə təsir etməsin deyə əvəz etmədən istifadə edilir. Yəni, Binomial paylanmada torbadan çıxarılan şarlar geri qaytarılır və ehtimallar dəyişmir. Geometrik paylanma aşağıdakı düsturla hesablanır:

Riyazi gözləmə (Ortalama):

Standart kənarlaşma:

Misal: Deyək ki, torbada 10 dənə şar var və bu şarlardan 4 dənəsi qırmızıdır. Fərz edək ki, torbadan 3 dənə şar seçiləcək və seçiləcək bu şarlardan 2-sinin qırmızı olma ehtimalı nədir?

Seçilmiş 3 şardan 2-nin qırmızı olma ehtimalı 30%-dir.

Daha 

əvvəl də qeyd etdiyimiz kimi, kəsilməz təsadüfi kəmiyyət sonsuz sayda qiymətlər ala bilər. Buna nümunə olaraq havanın temperaturunu göstərmişdik. Belə ki, havanın temperaturu müəyyən intervalda kəsilməz qiymət ala bilər.

Normal paylanma ele bir paylanmadır ki, burada;

• Paylanma zəng formalıdır (Bell Shaped),
• Verilənlər simmetrik paylanmışdır,
• Ortalama, Median və Mod bir-birinə bərabərdir.

Verilənlərin yerləşməsi ortalama (μ), yayınması isə standart kənarlaşma (σ) ilə müəyyən edilir. Təsadüfi dəyişən “–” sonsuzluqdan “+” sonsuzluq arasında istənilən qiymət ala bilir.

Normal paylanma aşağıdakı düsturla hesablanır:

Standart Normal Paylanma: hər hansı bir normal paylanmanı, standart normal paylanmaya (Z paylanma) çevirmək mümkündür. Bunun üçün X dəyişəni üzrə Z dəyərini tapmaq lazımdır və X-ı Z ilə evəz etməliyik. Standart normal paylanmanın (Z) ortalaması 0-a, standart kənarlaşması isə 1-ə bərabərdir.  Normal paylanmanın standartlaşdırılması üçün X dəyişəni ilə ortalamanın fərqini standart kənarlaşmaya bölmək lazımdır:

Şəkildən də gördüyümüz kimi, Z paylanmanın ortalaması 0-a, standart kənarlaşması isə 1-ə bərabərdir. Ortalamadan yuxarıda (sağ) olan Z qiymətləri müsbət, aşağıda (sol) olanlar isə mənfidir.

Misal: ortalaması 100 manata, standart kənarlaşması isə 50 manata bərabər olan normal paylanmada, X=200 manat üçün Z dəyəri nədir?

Bu o deməkdir ki, X=200 manat ortalamadan (100 manat) 2 standart kənarlaşma sağdadır. Gəlin X və Z dəyərlərini paylanma üzərindən müqayisə edək:

Gördüyümüz kimi, X və Z üzrə paylanma eynidir, sadəcə ölçü sistemləri fərqlidir. Yəni, biz paylanmada ölçüləri məsələdə verilmiş ortalama (100 man) və dəyişənlə (200) də verə bilərik, yaxud da bu göstəricilərin sandartlaşdırılmış Z dəyərlərini verə bilərik (ortalama = 0, dəyişən = 2).

Normal paylanmada ehtimallar əyrinin (curve) altında qalan sahəyə görə hesablanır. Qeyd edək ki, hər hansı tək verilənin ehtimalı sıfıra bərabərdir. Əyri (curve) altında qalan bütün sahənin ehtimalı 1-ə bərabərdir. Əyri (curve) simmetrik olduğuna görə, verilənlərin yarısı (0.5) ortalamadan aşağıda (sol), digər yarısı (0.5) isə ortalamadan yuxarıda (sağ) yerləşir.

Z cədvəli: bu cədvəldə Z dəyərlərinə uyğun ehtimallar hesablanmışdır. Yəni, ehtimalların əllə hesablanmasına ehtiyac duyulmur. Bu cədvəlin köməyi ilə biz hesabladığımız Z dəyərindən aşağıda qalan sahənin ehtimalını rahatlıqla görə bilirik.

Normal paylanmada ehtimalların hesablanması ardıcıllığı:

1. X dəyişəninə görə normal paylanmanı çəkmək
2. X dəyişənini Z dəyəri ilə əvəz etmək
3. Z cədvəldən istifadə etməklə ehtimalı tapmaq

Gəlin bu dediklərimizə misal üzrərindən baxaq:

Misal: Fərz edək ki, X təsadüfi dəyişəni növbədə gözlədiyimiz vaxtı göstərir. Deyək ki, X dəyişəni normal paylanmaya sahibdir. Ortalaması 18-ə, standart kənarlaşması isə 5-ə bərabərdir. 18.6-dan aşağıda qalan verilənlərin ehtimalı nədir?  Yəni, P(X < 18.6)?

• Yuxarı da dediyimiz kimi, birinci paylanmanı çəkək və tapmaq istədiyimiz sahəni müəyyən edək.

• Növbəti mərhələdə, X dəyişəninə uyğun Z dəyərini hesablayaq və X-ı Z ilə əvəz edək.

• Z cədvəlindən istifadə edərək P(X < 18.6) hesablayaq.

Yuxarıdakı şəkildə Z cədvəlindən necə istifadə elədiyimiz göstərilmişdir. Şaquli sütundakı rəqəmlər Z dəyərinin tam və onluq hissəsini göstərir (onluq hissə kəsr ədəddə vergüldən sonrakı 1 rəqəmi əhatə edir (bizim misalda Z=0.12, burada Z-in tam və onluq hissəsi 0.1-dir). Üfuqi sütundakı rəqəmlər isə Z dəyərinin kəsr hissəsindəki onluqlardan başqa (yüzlük və b.) rəqəmləri göstərir (bizim misalda Z=0.12, burada kəsrin yüzlük hissəsi  0.02-dir). Bunların kəsişməsində Z dəyərindən aşağıda yerləşən sahənin ehtimalı göstərilmişdir. Bu misala görə verilənlərin 54.78%-i Z dəyərindən aşağıda yerləşir.

 Sağ quyruqdakı ehtimalın hesablanması: bayaq ki misal üzrəndən baxaq. P(X > 18.6)?

Bildiyimiz kimi, əyri altında qalan bütün sahə 1-ə bərabərdir. P(X > 18.6) tapmaq üçün 1-dən P(X < 18.6) çıxmaq kifayət edir. Yəni, şəkildəki qırmızı sahəni tapmaq üçün 1-dən ağ sahəni çıxmaq lazımdır. P(X < 18.6) = 0.5478 olduğunu yuxarıda hesablamışdıq.

İki dəyişən arasındakı ehtimalın tapılması: normal paylanmış X dəyişəninin ortalaması 18, standart kənarlaşması 5-ə bərabər olarsa, P(18 < X < 18.6)?

Tapmaq istədiyimiz sahəni çəkək:

Z dəyərlərimizi hesablayaq:

 

Z cədvəlindən P(0 < Z < 0.12) tapaq:

Yəni, 0.12-dən aşağıda verilənlərin 54.78%-i, 0.00 –dan aşağıda isə verilənlərin 50%-i yerləşir. Bizə isə, bu sahələrin kəşisən hissəsi lazımdır, yəni 0.00 və 0.12 arasında qalan sahə. Bunu, böyük sahədən kiçik sahəni çıxmaqla tapmaq mümkündür.

          P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) = 0.5478 – 0.5000 = 0.0478

Sol quyruqdakı ehtimalın tapılması: normal paylanmış X dəyişəninin ortalaması 18, standart kənarlaşması 5-ə bərabər olarsa, P(17.4 < X < 18)?

          P(17.4 < X < 18) = P(-0.12 < Z < 0)= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 – 0.4522 =  0.0478

Normal paylanma simmetrik olduğuna görə, hesabladığımız ehtimal daha əvvəlki ehtimalla (yəni, P(0 < Z < 0.12)) eynidir.

Ehtimalın verilməsi halında X təsadüfi dəyişəninin tapılması: əgər ehtimal verilmişdirsə və X dəyişəninin tapılması bizdən soruşulursa, bunu hesablamaq üçün aşağıdakı mərhələləri izləmək lazımdır:

• Ehtimal verildiyi üçün biz ehtimala uyğun gələn Z dəyərini tapırıq
• Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək X dəyişənini hesablayırıq:

Misal: Fərz edək ki, X təsadüfi dəyişəni növbədə gözlədiyimiz vaxtı göstərir. Deyək ki, X dəyişəni normal paylanmaya sahibdir. Ortalaması 18-ə, standart kənarlaşması isə 5-ə bərabərdir. Vaxtın 20%-nin X-dan az olduğunu fərz edərək X-ı hesablayın:

Gəlin Z cədvəlindən 20%-ə uygun gələn Z dəyərini tapaq. Aşağıdakı cədvəldən də gördüyümüz kimi, 20%-ə ən yaxın ehtimal 20.05%-dir və bu ehtimal -0.8 və 0.04-ün kəsişməsində dayanmışdır. Yəni, Z dəyərimiz -0.84-dür.

Z dəyərini tapdığımıza görə gəlin X-ı esablayaq:

Deməli, ortalaması 18 və standart kənarlaşması 5-ə bərabər olan normal paylanmada verilənlərin 20%- 13.8-dən aşağıdır.

Uniform paylanma:

elə bir ehtimal paylanmasıdır ki, burada təsadüfi dəyişənlərin baş vermə ehtimalları bir-birinə bərabərdir. Bu paylanamaya düzbucaqlı paylanma da deyilir. Aşağıdakı düsturla hesablanır:

Riyazi gözləmə (Ortalama):

Standart kənarlaşma:

Misal: deyək ki, uniform paylanma 2 ≤ X ≤ 6 intervalındadır. Bu intervalda dəyişənlərin baş vermə ehtimalları nədri?

Gördüyümüz kimi, 2 ≤ X ≤ 6 intervalında olan dəyişənlərin baş vermə ehtimalı 25%-dir. Gəlin bu misalda verilənlərin neçə faizinin 3 ≤ X ≤ 5 intervalında olduğunu hesablayaq, yəni P(3 ≤ X ≤ 5) hesablayaq:

Bunun üçün düzbucaqlının sahə düsturundan istifadə edirik

Nəticə, verilənlərin 50%-i 3 ≤ X ≤ 5 intervalında yerləşir.

Üstlü paylanma: iki hadisə arasındakı vaxtı ölçür. Buna misal olaraq telefona gələn zənglər arasındakı vaxtı, bankda emeliyyatlar arasındakı vaxtı deyə bilərik. Aşağıdakı düstürla hesablanır:

Misal: fərz edək ki, müştəri xidmətlərinə saatda 15 müştəri yaxınlaşır. Müştərilər arası vaxtın 3 dəqiqədən az olması ehtimalı nədir?

Həlli: 3 dəq = 3 / 60 = 0.05 saat

          

Nəticə, ardıcıl gələn iki müştəri arasındakı vaxtın 3 dəqiqədən az olma ehtimalı 52.76%-dir.

Seçmənin ümumi topludan üstün olan cəhətləri nələrdir? Təhlilin seçmə üzərindən aparılması topluya nəzərən daha az vaxt və xərc tələb edir. Seçmə üzərində işləyən təhlilçi toplu üzərində işləyən təhlilçiyə nəzərən daha az enerji sərf edir və daha operativ işləyir. Seçmənin aşağıdakı üsulları var:

Ehtimalsız seçmələrdə verilənlər seçilmə ehtimalından  asılı olmayaraq seçilir.

Sübut üzrə seçmələrdə verilənlər yalnız sübut əsasında seçilir. Bu metodda verilənlərin seçilməsi çox asandır və heç bir xərc tələb etmir.

Qərar üzrə seçmələrdə biz bu mövzu barədə ekspertlərin daha öncədən olan qəraralarını götürürük.

Ehtimallı seçmələrdə verilənlər bilinən ehtimal əsasında seçilir.

Təsadüfi seçmədə hər bir verilənin seçilmə ehtimalı bərabərdir. Seçmələr əvəzetmə və ya əvəzetmə olmadan aparıla bilər. (misal: torbadan çıxarılmış şar geri qaytarılır və növbəti şarın seçilmə ehtimalı tapılır, buna əvəzetmə deyilir və şarların seçilmə ehtimalları dəyişmir. Lakin, çıxarılan şar geri qaytarılmadan növbəti şarın seçilmə ehtimalı tapılırsa, buna evəzetmə olmadan ehtimalların hesablanması deyilir. Bu metodda hər növbəti şarın seçilmə ehtimalı öncəki şarın seçilməsindən asılı olaraq dəyişir.)

Ardıcıl seçmədə ümumi toplunu müəyyən edirik və bizə lazım olan seçmənin sayını təyin edirik. Daha sonra verilənləri qruplaşdırmaq üçün toplunun sayını seçmənin sayına bölürük. Yaranan qruplardan verilənləri təsadüfi seçirik. Misal, fərz edək topluda 40 verilən var, biz isə 4 veriləni seçib təhlili onun üzrərində aparrmaq lazımdır. N = 40;  n = 4;  k = N/n = 40/4 = 10; bizə 4 verilən lazım olduğu üçün 4 qrupdan hər birindən 1 veriləni təsadüfi seçirik.

Stratalaşdırılmış seçmədə ümumi topluda olan verilənlər xüsusiyyətlərinə görə iki və daha çox qruplar (bu qruplar stratalar adlanır) üzrə yığılır. Yəni, eyni xüsusiyyətə malik olan verilənlər bir qrupa aid edilir. Hər qrupdan strata sayına proporsional olaraq təsadüfi verilənlər seçilir. Aşağıdakı şəkildə stratalaşdırılmış seçmə göstərilmişdir:

Dəstə seçmədə verilənlər toplunu təmsil edəcək bir neçə dəstə bölünür. Bütün dəstələr arasından təsadüfi dəstələr seçilir və seçilmiş dəstələrdə olan verilənlər bizim təhlil edəcəyimiz seçməni formalaşdırır. Aşağıdakı şəkildə dəstə seçmə verilmişdir:

Seçmə üsullarının müqayisəsi:

Təsadüfi və Ardıcıl seçmə üsulları istifadə üçün ən asan vasitədir. Lakin, bu üsulların çatışmayan cəhəti bu üsulla seçilmiş verilənlərin toplunu tam şəkildə təmsil etməməsidir. Yəni, bu metodlarla seçilmiş verilənlər üzərində aparılmış təhlilin nəticəsi 100% toplunu xarakterizə etmir.

Stratalaşdırılmış seçmə üsulu ilə seçilmiş verilənlər toplunu tam şəkildə təmsil edir.

Dəstə seçmə isə ən az xərc tələb edən üsullardan biridir. Lakin, bu üsül səmərəli vasitə deyil. Çünki, bu vasitə ilə seçilmiş verilənlər düzgün nəticə əldə etmək üçün kifayət sayda deyil. Düzgün nəticə əldə etmək üçün böyük həcmdə verilənlər üzərində işləmək ehtiyacı yaranır.

Seçmə üzrə paylanma, topluda olan eyni ölçülü seçmələr üzrə paylanmaların bütünüdür. Bunu başa düşmək üçün gəlin misal üzərindən baxaq:

Misal: fərz edək ki, topluda 4 insanın yaşı verilmişdir. N=4 və yaşı X ilə işarə etsək X = 18 ; 20 ; 22 ; 24 deyək. Bu zaman toplu üzrə riyazi gözləmə (ortalama), standart kənarlaşma və paylanma aşağıdakı kimi olacaqdır:

Fərz edək ki, təhlil üçün bizə yalnız iki yaş göstəricisi kifayət edir. Gəlin indi, iki verilənin seçilmə hallarını göstərək və hər bir hal üzrə riyazi gözləməni (ortalama) hesablayaq. Qeyd edək ki, seçmə əvəz etmə yolu ilə aparılır, yəni seçilən rəqəm geri qaytarılır və ikinci rəqəm seçilir.

Seçmələrin ortalamalarına uyğun paylanmanı quraq:

Seçmənin paylanması üzrə riyazi gözləməni (ortalama) və standart kənarlaşmanı hesablayaq:

Və aldığımız nəticələrə görə toplu və seçmənin müqayisəsinə baxaq:

Yuxarıdakı misaldan da gördük ki, eyni topluda eyni sayda olan seçmələr üzrə ortalamalar fərq göstərir. Misalda 16 seçmə halı var idi və hesablamalara görə 7 müxtəlif ortalama əldə edildi. Eyni topludan götürülmüş seçmələr üzrə hesablanmış ortlamaların fərqi, ortalamanın standart yayınması vasitəsilə hesablanır:

Qeyd edək ki, seçmə sayı çoxaldıqca ortalamanın standart yayınması kiçilir. Əgər toplu ortalaması μ-ə, standart kənarlaşması σ-a bərabər normal paylanmaya sahibdirsə, o təqdirdə seçmə də normal paylanmaya sahib olacaqdır. Seçmənin ortalaması və standart kənarlaşması aşağıdakı kimi olacaqdır:

Seçmə üzrə paylanmaların Z dəyəri aşağıdakı kimi hesablanacaq:

Əgər toplu ortalaması μ-ə, standart kənarlaşması σ-a bərabər olan normal paylanmaya sahib deyilsə, o təqdirdə biz mərkəzi limit teoremindən istifadə edəcəyik. Mərkəzi limit teoreminin əsası ondan ibarətdir ki, seçmə sayı çoxaldıqca seçmələr üzrə ortalamalar normal paylanacaqdır. Aşağıdakı şəkildən bunu aydın görmək olar:

Bəs seçmə sayı nə qədər olmalıdır ki, seçmə üzrə paylanma normal olsun? Bir çox paylanmalarda sübut edilmişdir ki, seçmə sayı 30-dan böyük (n ≥ 30) olduğu təqdirdə verilənlər normal paylanmaya sahib olur.

Normal paylanmış toplunun riyazi gözləməsini təxmin eləmək üçün seçmənin ortalamasından istifadə edirik. Toplu üçün tapılmış təqribi qiymətlər bir ədəddən ibarət olduğu üçün onlara nöqtəvi qiymətləndirmələr deyilir. Nöqtəvi qiymətləndirmələr toplunun parametrlərinin əsil qiymətlərindən xeyli fərqlənə bilərlər. Məhz bu səbəbə görə, parametrlər üçün tapılmış təqribi qiymətlərin dəqiqlik və etibarlılıq məsələləri intervallı qiymətləndirmə üsulu ilə, yəni etibarlılıq intervallarının qurulması vasitəsi ilə həyata keçirilir. Bütün bunları nəzərə alaraq demək olar ki, interval parametrin həqiqi qiymətinin daxil olduğu diapazonu göstərir.

Etibarlılıq intervalları toplunun standart yayınması məlum olub olmamasından asılı olaraq hesablanır. Gəlin bunlara ayrı-ayrılıqda baxaq:

1.  

Fərziyyələr:

• Toplunun Standart Yayınması məlumdur.
• Toplu Normal paylanmaya sahibdir.
• Əgər toplunun paylanması normal deyilsə, o təqirdə böyük həcmdə seçmədən istifadə edilməlidir.

Bu şərtlərin hamısı qarşılanırsa, etibarlılıq intervalı aşağıdakı düsturla hesablanır:

Gəlin 95% etibarlılıqda Z dəyərini hesablayaq:

Gördüyümüz kimi, biz ilk olaraq quyruqlarda qalan ehtimalı hesabladıq (iki quyruğa 5%, hər birinə isə 2.5% düşür). Daha sonra Z cədvəlindən 0.025 ehtimala uyğun gələn qiyməti tapdıq.

Qeyd edək ki, ən çox istifadə olunan ehtimallar 90%, 95% və 99%-dir. Bu ehtimallar üzrə Z dəyərlərini əzbər bilsək artıq hər dəfə Z cədvəlinə baxmağa ehtiyac yaranmaz. Bunun üçün aşağıdakı cədvəldə ehtimallar üzrə Z dəyərlərini qeyd edirəm:

Misal: Fərz edək ki, böyük bir topludan riyazi gözləməsi (ortalaması) 2.20 bərabər olan 11 verilən seçilmişdir. Bu toplunun standart yayınmasının 0.35-ə bərabər olduğunu da bilirik. Toplunun riyazi gözləməsi (ortalaması) üçün 95% etibarlı interval hesablayın:

95% əminliklə biz deyə bilirik ki, toplunun ortalaması 1.9932 ilə 2.4068 arasındadır.

        2. 

Görəsən biz hər dəfə toplunun standart yayınmasını bilirikmi? Əslində xeyr. Real həyatda topluda verilənlər hədsiz çox olduğu üçün biz vaxta qənaət etmək və oparativ işləmək məqsədilə topludan bir qisim veriləni seçib onları təhlil edirik və alınan nətcəni topluya şamil edirik. Əgər toplunun standart kənarlaşmasını bilirksə, deməli bizə toplunun ortalaması da məlumdur. Çünki, standart kənarlaşmanı ortalamanın köməyi ilə hesablayırıq. Deməli, əgər toplunun standart kənarlaşması bilinirsə onda ortalaması da bilinir və seçmə götürərək ortalamanı təxmin eləməyə heç bir ehtiyac yoxdur.

Əgər toplunun standart yayınması (σ) naməlumdursa onda biz seçmənin standart yayınmasından (S) istifadə edirik. Amma S özü də seçmədən seçməyə fəqli qiymət alır. Buna görə də normal paylanma əvəzinə “t” paylanmasından istifadə edəcəyik. Çünki, t paylanmasında t dəyəri seçmə sayından asılı olaq dəyişir.

Fərziyyələr:

• Toplunun Standart Yayınması naməlumdur.
• Toplu Normal paylanmaya sahibdir.
• Əgər toplunun paylanması normal deyilsə böyük həcmdə seçmədən istifadə edilməlidir.

Bu şərtlərin hamısı qarşılanırsa, etibarlılıq intervalı aşağıdakı düsturla hesablanır:

Burada, tα/2  t paylanmasında hər bir quyruqda qalan α/2 ehtimalına uyğun gələn mühüm dəyərdir. t cədvəlində sol sütunda (degrees of freedom ,df) n-1 götürülür. Bu da o dəməkdir ki, t dəyəri seçmədən seçməyə fərli olacaqdır, yəni seçmə həcmindən asılı olaraq t dəyəri dəyişəcəkdir. t paylanmasına Student’s t Distribution da deyilir.

Qeyd edək ki, seçmə sayı (n) artdıqca t paylanması Z paylanmasına yaxınlaşır. Aşağıdakı şəkildə daha aydın görünür:

Fərz edək ki, seçmə sayı 3-dür, 90% əminliklə t dəyərini hesablayın:

Misal: fərz edək ki, topludan götürülmüş seçmənin sayı 25, ortalaması 50 və standart yayınması 8-dir. 95% əminliklə toplunun ortalamasını hesablayın:

Nəticəyə görə deyə bilərik ki, toplunun riyazi gözləməsi (ortalama) 95% əminliklə 46.689 ilə 53.302 arasındadır.

Parametrin doğruluğunu yoxlamaq üçün hipotez testindən istifadə edilir. Hipotez testi vasitəsilə seçmədən əldə edilən statistiklə toplu parametri haqqında qərar gəbul edilir.

Bir hipotez testində iki hipotez olur:

H0        : Boş hipotez, sıfır hipotezi
H1        : Alternativ hipotez

Daha əvvəl doğru olduğu sübut edilən və ya ortaq gəbul edilmiş mühakimələrə sıfır hipotezi (H0) deyilir. İnandığımız vəziyyət H0 hipotezində yazılır. Əksi isbat edilməzsə H0 hipotezi doğru qəbul edilir. H0 hipotezində yer alan vəziyyətin əksi alternativ hipotezdə (H1) yazılır.

Misal: toplunun ortalma yaşının 50 olduğu iddia edilir.

H0        : μ = 50
H1        : μ ≠ 50

Daha sonra topludan seçmə verilənlər götürülür və bunlar üzrə ortalama hesablanır.

Fərz edək ki, seçmə üzərindən hesabladığımız ortalama 20-dir. Bu nəticə iddia edilən nətəcədən çox kiçikdir, 20<50. Buna görə də biz sıfır hipotezi (H0) rədd edirik. Yəni, toplunun yaş ortalamasını düzgün təxmin eləməmişik.

Əgər seçmənin ortalaması təxmin elədiyimiz ortalamaya yaxındırsa H0-ı qəbul edirik, əks halda yəni, seçmənin ortalaması təxmin elədiyimiz ortalamadan uzaqdırsa H0-ı rədd edirik. O zaman belə bir sual çıxır. Seçmə ortalaması təxmin elədiyimiz ortalamadan nə qədər uzaq olduqda biz H0-ı rədd edirik? Bunun üçün biz test üzrə mühim (kritik) dəyəri hesablamalıq. Hesablayacağımız bu rəqəm bizə qərar qəbul etmədə əsas vasitə olacaqdır. Bu rəqəm bizə H0-ın qəbul olunma və rədd edilmə sahələrini verəcəkdir.

Hipotez testində qərar qəbul etmə zamanı aşağıdakı səhvlər ola bilər:

I növ xəta:

• Düzgün sıfır hipotezi (H0) rədd edilir.
• Çox ciddə xətadır.
• Bu xətanın ehtimalı a-dır.

II növ xəta:

• Yalnış sıfır hipotezi (H0) rədd edilməmişdir.
• Bu xətanın ehtimalı β-dır.

Hipotez testinin hesablanması toplunun standart yayınmasının (s) məlum olub-olmasından asılı olaraq dəyişir:

İlk olaraq ortalamanın test edilməsində hansı mərhələlərin aparıldığına baxaq:

• Sıfır hipotezi (H0) və alternativ hipotez (H1) təyin edilir.
• Etibarlılıq səviyyəsi (a) və seçmə sayı müəyyən edilir.
• Uyğun test statistiki (s məlum olub-olmamasından asılı olaraq Z və ya t test) və seçmə paylanması müəyyən edilir.
• Qəbul və rədd sahələrini təyin edən mühim (kritik) dəyərlər tapılır.
• Test statistiki hesablanır.
• Qərar qəbul edilir. Əgər test statistiki rədd sahəsinə düşürsə H0 rədd edilir, əks halda yəni, test statistiki qəbul sahəsinə düşürsə H0 rədd edilmir.

Misal (σ məlumdur): A müəssisəsinin istehsal etdiyi topların ortalama diametrinin 30 olduğu iddia edilir. Fərz edək ki, σ = 0.8

• H0: μ = 30

           H1: μ ≠ 30   (iki quyruqlu testdir)

• a = 0.05 və  n = 100 götürək
• σ məlum olduğu üçün Z testindən istifadə edəcəyik
• a = 0.05 ehtimalla Z dəyəri ±1.96-dır.
• n=100 olan seçmənin ortalamasının 29.84 olduğunu fərz edərsək, Z testimiz belə olacaqdır.

• ZSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxaq və qərar qəbul edək.

ZSTAT = -2.0  < -1.96 olduğu üçün sıfır hipotezi (H0: μ = 30) rədd edilir. Belə nəticəyə gəlirik ki, istehsal edilən topların ortalama diametri 30-a bərabər deyil.

Hipotez testində p yanaşması:

• Sıfır hipotezi (H0) və alternativ hipotez (H1) təyin edilir.
• Etibarlılıq səviyyəsi (a) və seçmə sayı müəyyən edilir.
• Uyğun test statistiki (s məlum olub olmamasından asılı olaraq Z və ya t) və seçmə paylanması müəyyən edilir.
• Test statistiki və p dəyəri hesablanır.
• Qərar qəbul edilir.

      Əgər p-dəyəri  <  a , H0 rədd edilir,

      Əgər p-dəyəri  ³  a , H0 rədd edilmir.

Yuxarıdakı misalı p yanaşması ilə həll edək:

• H0: μ = 30

           H1: μ ≠ 30   (iki quyruqlu testdir)

• a = 0.05 və  n = 100 götürək
• σ məlum olduğu üçün Z testindən istifadə edəcəyik
• Test statistikinin hesablanması: n=100 olan seçmənin ortalamasının 29.84 olduğunu fərz edərsək, Z testimiz belə olacaqdır.

p-dəyərinin hesablanması: Z dəyərimiz -2-dir. Z cədvəlindən -2-yə uyğun gələn ehtimalı tapırıq. Bu ehtimal 0.0228 dir. Hər iki quyruqda qalan ehtimalların cəmi bizim p dəyərimizdir.

p-dəyəri = 0.0456 < α = 0.05;  H0 rədd edilir. Nəticə, istehsal edilən topların ortalama diametri 30-a bərabər deyil.

Misal (σ naməlumdur): B şəhərində bir otaqlı mənzillərin ortalama icarə haqqı 168 dollardır. Bunu sübut eləmək üçün 25 ev seçilmişdir. Bu evlər üzrə ortalama icarə haqqı 172.50, standart yayınması isə S=15.40 hesablanmışdır. Etibarlılıq səviyyəsi a = 0.05 götürülmüşdür.

• H0: μ = 168

           H1: μ ≠ 168   (iki quyruqlu testdir)

• a = 0.05;   n = 25;   df = 25-1=24
• σ naməlum olduğu üçün t testindən istifadə edəcəyik
• a = 0.05 ehtimalla ±t 24; 0.025 = ± 2.0639
• t testimizi hesablayaq:

• tSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxaq və qərar qəbul edək.

tSTAT = 1.46 < 2.0639 olduğu üçün sıfır hipotezi (H0: μ = 168) rədd edilmir. Belə nəticəyə gəlirik ki, icarə haqqlarının 168-dən fərqli olduğuna dair əsaslı sübut yoxdur.

Yuxarıda baxdığımız misallar hamısı iki quyruqlu testə aiddir. İndi isə gəlin bir quyruqlu testlərə nəzər salaq:

Misal (bir quyruqlu test): qol saatı istehsal edən şirkətin meneceri iddia edir ki, xammaddələrin qiyməti bahalaşır və ortalama bir saatın maya dəyəri 52 manata başa gəlir. Şirkət, irəli sürülmüş bu iddianın doğruluğunu yoxlamaq istəyir (fərz edək ki, toplu normal paylanmaya sahibdir).

• H0: μ ≤ 52 (ortalama maliyyət 52 manatdan çox deyil)

           H1: μ > 52     (ortalama maliyyət 52 manatdan çoxdur, menecerin iddiası)

• a = 0.10;   n = 25;   df = 25-1=24
• σ naməlum olduğu üçün t testindən istifadə edəcəyik
• a = 0.10 ehtimalla ±t 24; 0.10 = ± 1.318
• t testimizi hesablayaq:

• tSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxaq və qərar qəbul edək.

tSTAT = 0.55 ≤ 1.318 olduğu üçün sıfır hipotezi (H0: μ ≤ 52 ) rədd edilmir. Belə nəticəyə gəlirik ki, ortalama maliyyətin  52 man yüksək olduğuna dair əsaslı sübut yoxdur.

 

İki toplunun ortalaması arasındakı fərq iki metodla test edilir:

1. σ1 və σ2 naməlumdur və fərz edilir ki, bir-birinə bərabərdir.

Fərziyyələr:

• Seçmələr təsadüfi və müstəqil şəkildə seçilmişdir.
• Hər iki toplu normal paylanmaya sahibdir və ya hər iki seçmənin sayı 30-dan çoxdur.
• Hər iki toplunun standart kənarlaşması naməlumdur və bir-birinə bərabər olduğu fərz edilir.

Bu fərziyələr olduğu təqdirdə, standart kənarlaşmanı (σ) təxmin eləmək üçün biz  Sp-dən (toplanmış-dispersiya – Eng. Pooled-Variance) istifadə edəcəyik. Test statistikdə σ naməlum olduğu üçün t testindən istifadə edəcəyik. Sp və tSTAT hesablanması aşağıda göstərilmişdir:

tSTAT-da d.f. = (n1 + n2 – 2) götürülür.

μ1 – μ2   üçün etibarlılıq intervalları aşağıdakı kimi hesablanır:

Misal: fərz edək ki, siz broker şirkətində maliyyə göstəricilərinin təhlili sahəsində çalışırsınız. İki birjada (X və Y birjası deyək) səhmlər üzrə divident gəlirləri arasında fərqin olub-olmadığı sizdən soruşulur. Deyək ki, siz aşağıdakı məlumatları əldə etmisiniz:

Hər iki toplunun normal paylanmaya sahib olduğunu fərz edərək, ortalamalar arasındakı fərqi hesablayaq (a = 0.05):

                                                     H0: μ1 – μ2 = 0 və ya (μ1 = μ2)

                                                     H1: μ1 – μ2 ≠ 0 və ya (μ1 ≠ μ2)

Test statistik:

tSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxaq və qərar qəbul edək:

a = 0.05

d.f. = 21 + 25 – 2 = 44

Mühim (kritik) dəyər: t = ± 2.0154

tstat = 2.040 > 2.0154 olduğu üçün H0-ı rədd edilir. Belə nəticəyə gəlirik ki, iki birjanın ortalama divident gəlirləri arasında fərq var.

H0-ı rədd etdik, bəs biz 95% əmin ola bilərikmi μ1 > μ2? Bunun üçün biz μ1 – μ2 görə  95% etibarlı interval qurmalıyır.

Deməli, sıfır rəqəmi intervala daxil olan bütün rəqəmlərdən kiçikdir. Buna görə də, biz 95% əminik ki, μ1 > μ2.

        2. σ1 və σ2 naməlumdur və fərz edilir ki, bir-birinə bərabər deyil.

Fərziyyələr:

• Seçmələr təsadüfi və müstəqil şəkildə seçilmişdir.
• Hər iki toplu normal paylanmaya sahibdir və ya hər iki seçmənin sayı 30-dan çoxdur.
• Hər iki toplunun standart kənarlaşması naməlumdur və bir-birindən fərqli olduğu fərz edilir.

Bu fərziyələr olduğu təqdirdə, tSTAT aşağıdakı kimi hesablanacaqdır:

tSTAT-da d.f. = v götürülür. v öz isə aşağıdakı düsturun köməkliyi ilə tapılır:

 

Test zamanı aşağıdakı mərhələlər izlənir:

• Seçmələrin ortalamaları arasındakı fərqlər tapılır.

• Fərq üzrə ortalama hesablanır (buradakı n fərqlərin sayıdır).

• Fərq üzrə standart kənarlaşma hesablanır.

 

• μD üzrə test statistikini hesablayırıq (d.f. = n-1)

• tSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxılır və qərar qəbul edilir.
• μD üzrə etibarlılıq intervalı müəyyən edilir.

Misal: XYZ şirkəti satış təmsilçilərini “müştəri məmnuniyyətinin artırılması” təliminə göndərmişdir. Şirkət təlimin müştəri şikayətlərinə təsirini ölçmək istəyir. Təhlil üçün aşağıdakı məlumatlar toplanmışdır:

tSTAT = -1.66 > -4.604 olduğu üçün H0 rədd edilmir. Belə nəticəyə gəlirik ki, təlimin müştəri şikayətlərinə ciddi təsir etdiyinə dair kifayət qədər sübut yoxdur.

F testi iki dispersiya arasındakı fərqi test edir.

F testi aşağıdakı düsturla hesablanır:

F cədvəlində df1 stünu,  df2 isə sətiri göstərir.

Misal: fərz edək ki, siz broker şirkətində maliyyə göstəricilərinin təhlili sahəsində çalışırsınız. İki birjada (X və Y birjası deyək) səhmlər üzrə divident gəlirlərinin müqayisə edilməsi sizdən istənilir. Deyək ki, siz aşağıdakı məlumatları əldə etmisiniz:

Hər iki toplunun normal paylanmaya sahib olduğunu fərz edərək, dispersiyalar arasındakı fərqi hesablayaq (a = 0.05):

• H0: σ12 = σ22

            H1: σ12 ≠ σ22

• a = 0.05
• f. = n1 – 1 = 21 –1 = 20 (sürət)
• f. = n2 – 1 = 25 –1 = 24 (məxrəc)
• Fα/2 = F.025, 20, 24 = 2.33

• FSTAT-ın hansı sahəyə düşdüyünə baxaq və qərar qəbul edək:

Fstat = 1.256 < 2.33 olduğu üçün H0-ı rədd edilmir. Belə nəticəyə gəlirik ki, iki birjanın dispersiyaları arasında fərqin olmasına dair əsaslı sübutumuz yoxdur.